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Geometría proyectiva: Aplicación de los haces superpuestos de segundo orden

Los conceptos proyectivos que hemos desarrollado al estudiar los haces superpuestos de segundo orden, cuya base es una cónica, permiten solucionar problemas de determinación de puntos de tangencia en las tangentes de una cónica definida mediante cinco tangentes o cinco restricciones mediante la combinación de tangentes y puntos con sus respectivas tangentes. Veremos la aplicación del Punto de Brianchon en este tipo de problemas

Geometría proyectiva: Haces superpuestos de segundo orden

Para estudiar la cónica tangencial, y en particular las proyectividades entre haces de segundo orden superpuestos sobre una misma curva, podemos apoyarnos en el estudio dual del realizado con las series superpuestas de segundo orden.

Geometría proyectiva: Aplicación de las series superpuestas de segundo orden

Los conceptos proyectivos que hemos desarrollado al estudiar las series superpuestas de segundo orden, cuya base es una cónica, permiten solucionar problemas de determinación de tangentes en puntos de una cónica definida mediante cinco puntos o cinco restricciones mediante la combinación de puntos y tangentes con sus respectivos puntos de tangencia.

Geometría proyectiva: Construcción de cuaternas de puntos

Hemos visto la definición de Cuaternas ordenadas de elementos, caracterizando a cuatro puntos de una serie rectilínea o cuatro rectas de un haz de planos mediante un valor o característica, resultado de obtener el cociente de dos ternas determinadas por dichos elementos.

Nos planteamos a continuación el problema de obtener, dados tres elementos pertenecientes a una misma forma de primera categoría, serie o haz, obtener un cuarto elemento que determine una cuaterna de valor concreto.

Geometría proyectiva: Determinación de elementos homólogos en haces proyectivos

Uno de los primeros problemas que debemos aprender a resolver en geometría proyectiva es la determinación de elementos homólogos, tanto en series como en haces y en cualquier disposición de sus bases, superpuestas o separadas.

Para continuar el estudio de la metodología a emplear usaremos el modelo dual al basado en elementos “puntos”, es decir con rectas, suponiendo además que las bases de los correspondientes haces a relacionar se encuentran separados.

Geometría proyectiva: Intersección de recta y cónica

La definición proyectiva de la cónica permite empezar a resolver problemas clásicos de determinación de nuevos elementos de la cónica (nuevos puntos y tangentes en ellos), así como encontrar la intersección con una recta o la tangente desde un punto exterior. Estos problemas pueden resolverse por diferentes métodos más o menos complejos conceptualmente y con trazados más o menos laboriosos.

Veremos a continuación cómo determinar los dos posibles puntos de intersección de una recta con una cónica definida por cinco puntos.

Geometría proyectiva: Series superpuestas de segundo orden

Cuando la base de una serie es una cónica la serie es de segundo orden.

Igual que en el caso de series de primer orden cuando definíamos las series superpuestas, podemos establecer proyectividades entre dos series de segundo orden con la misma base (en este caso una cónica).

Geometría proyectiva: Formas superpuestas de primer orden

Las formas proyectivas superpuestas son un caso particular de las formas proyectivas, en las que relacionamos elementos de la misma naturaleza que comparten una base común.

Por ejemplo, dos series superpuestas tendrán la misma recta como base de las formas geométricas, dos haces de rectas el mismo vértice (haces concéntricos) y dos haces de planos superpuestos tendrán el mismo eje (coaxiales).

Geometría proyectiva: Circunferencia como serie de segundo orden

Una circunferencia es una cónica cuyos ejes tienen igual longitud, de ahí que podamos decir que su excentricidad es nula (excentricidad=0). Podemos tratar la circunferencia como una serie de segundo orden, obtenida por la intersección de rayos homólogos de dos haces congruentes (iguales pero girados.) Este tratamiento será de gran utilidad para usarla como herramienta proyectiva y resolver la determinación de elementos dobles en series superpuestas y haces concéntricos.

Geometría proyectiva: Determinación de elementos homólogos en series proyectivas

Uno de los primeros problemas que debemos aprender a resolver en geometría proyectiva es la determinación de elementos homólogos. Para iniciar el estudio de la metodología a emplear usaremos como siempre el modelo basado en elementos “puntos”, ya que es más sencillo de interpretar. Nos plantearemos por lo tanto la determinación de elementos homólogos en series proyectivas:
Dadas dos series proyectivas definidas mediante tres parejas de elementos (puntos) homólogos, determinar el homólogo de un punto dado.

Geometría proyectiva: Definición proyectiva de la cónica

Las curvas cónicas, además del tratamiento métrico basado en las nociones de tangencia, tienen un tratamiento proyectivo que se apoya en los conceptos de series y haces proyectivos.

Veremos dos definiciones de las cónicas adaptadas al “mundo de los puntos” o al “mundo de las rectas” según nos interese, en lo que se define como las definiciones “puntuales” o “tangenciales” de las curvas cónicas.