PIZiadas gráficas

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Geometría Proyectiva: Cuadrivértice Completo

Una de las figuras geométricas más utilizadas en la geometría proyectiva es la del “Cuadrivértice Completo”, o su dual “Cuadrilátero Completo”.

De forma general, un cuadrivértice está formado por cuatro puntos, por lo que en el plano esta figura tiene 8 grados de libertad (2 coordenadas por cada vértice) y serán necesarias 8 restricciones para determinar uno concreto.

Método de la falsa posición. Aplicación de series superpuestas de segundo orden.

Los modelos teóricos de la geometría proyectiva se pueden utilizar proponiendo problemas que no sean de aplicación directa. Tendremos que “vestir” por lo tanto los ejercicios para inferir en el alumno un mayor análisis y un tratamiento transversal del conocimiento: ¿Puedo aplicar lo aprendido para resolver este problema?.
Tras analizar en detalle las operaciones con series superpuestas de segundo orden, vamos a ver un ejemplo de aplicación que no consiste en obtener nuevas tangentes o puntos de tangencia de una cónica.

Geometría proyectiva: Involución en series superpuestas de segundo orden : Eje de Involución

Las transformaciones involutivas son aplicaciones biyectivas de gran interés para ser aplicadas en construcciones geométricas, ya que las simplifican notablemente.

Veremos cómo se define una involución en series de segundo orden, con base una cónica, comparándo el nuevo modelo de transformación con las series superpuestas de segundo orden estudiadas previamente.

¿Qué es una Involución en Geometría?

En geometría hablamos con mucha frecuencia con términos que, en algunos casos, no están suficientemente popularizados en el lenguaje cotidiano. Ello lleva a crear barreras en la interpretación de algunos conceptos sencillos.

Uno de los términos que más veces me han preguntado en clase es el de “Involución”. Definamos la involución.

¿Qué es una involución?

Geometría proyectiva: Aplicación de los haces superpuestos de segundo orden

Los conceptos proyectivos que hemos desarrollado al estudiar los haces superpuestos de segundo orden, cuya base es una cónica, permiten solucionar problemas de determinación de puntos de tangencia en las tangentes de una cónica definida mediante cinco tangentes o cinco restricciones mediante la combinación de tangentes y puntos con sus respectivas tangentes. Veremos la aplicación del Punto de Brianchon en este tipo de problemas

Geometría proyectiva: Haces superpuestos de segundo orden

Para estudiar la cónica tangencial, y en particular las proyectividades entre haces de segundo orden superpuestos sobre una misma curva, podemos apoyarnos en el estudio dual del realizado con las series superpuestas de segundo orden.

Geometría proyectiva: Aplicación de las series superpuestas de segundo orden

Los conceptos proyectivos que hemos desarrollado al estudiar las series superpuestas de segundo orden, cuya base es una cónica, permiten solucionar problemas de determinación de tangentes en puntos de una cónica definida mediante cinco puntos o cinco restricciones mediante la combinación de puntos y tangentes con sus respectivos puntos de tangencia.

Geometría proyectiva: Construcción dinámica de una cuaterna de puntos [Geogebra]

La aplicación “Geogebra” permite elaborar construcciones dinámicas en las que podemos modificar la posición de los elementos que la forman, manteniendo las restricciones geométricas de estas figuras, permitiendo mostrar los invariantes de los mismos. Esta herramienta puede ser una valiosa ayuda para nuestros estudiantes.

El profesor Juan Alonso Alriols ha colaborado en la introducción de esta herramienta en las enseñanzas de “Expresión Gráfica” en la Universidad Politécnica de Madrid, aportando ejemplos de alto interés. Un ejemplo de su trabajo se puede ver en la “Construcción dinámica de razón doble de cuatro puntos” que acompaña esta entrada, a la que ha añadido un texto conductor para el uso en nuestras clases.

Geometría proyectiva: Construcción de cuaternas de puntos

Hemos visto la definición de Cuaternas ordenadas de elementos, caracterizando a cuatro puntos de una serie rectilínea o cuatro rectas de un haz de planos mediante un valor o característica, resultado de obtener el cociente de dos ternas determinadas por dichos elementos.

Nos planteamos a continuación el problema de obtener, dados tres elementos pertenecientes a una misma forma de primera categoría, serie o haz, obtener un cuarto elemento que determine una cuaterna de valor concreto.

Geometría métrica: Lugares geométricos. Arco capaz : Problema II Solución

Vamos a resolver un sencillo problema planteado anteriormente en el que deberemos determinar un lugar geométrico básico para la determinación de su solución, un problema en el que hay que encontrar un punto del plano que cumpla unas condiciones geométricas dadas.

La intersección de dos lugares geométricos planos nos determinará un número finito de puntos que serán las posibles soluciones del problema.

Geometría métrica: Lugares geométricos. Arco capaz : Problema II

Las técnicas de solución de problemas basadas en la intersección de lugares geométricas se suelen asociar a problemas sencillos de la geometría clásica.

En estos casos es el planteamiento de la solución lo que entraña la mayor complejidad, ya que los lugares geométricos derivados suelen ser elementos geométricos sencillos.
Determinar un punto P desde el que se observe bajo el mismo ángulo a los tres lados de un triángulo ABC.