Muchas de las cosas que podemos ver en una película de ciencia ficción acaban siendo realidad con el paso del tiempo. Una de las ideas más interesantes que pude apreciar en la película “Prometheus” era la utilización de unos pequeños “drones” en forma de esfera que permitían la exploración, de forma automática, del entorno en… (leer más)
Uno de los primeros problemas que debemos aprender a resolver en geometría proyectiva es la determinación de elementos homólogos. Para iniciar el estudio de la metodología a emplear usaremos como siempre el modelo basado en elementos “puntos”, ya que es más sencillo de interpretar. Nos plantearemos por lo tanto la determinación de elementos homólogos en series proyectivas:
Dadas dos series proyectivas definidas mediante tres parejas de elementos (puntos) homólogos, determinar el homólogo de un punto dado.
Las curvas cónicas, además del tratamiento métrico basado en las nociones de tangencia, tienen un tratamiento proyectivo que se apoya en los conceptos de series y haces proyectivos.
Veremos dos definiciones de las cónicas adaptadas al “mundo de los puntos” o al “mundo de las rectas” según nos interese, en lo que se define como las definiciones “puntuales” o “tangenciales” de las curvas cónicas.
La utilización de las leyes de la dualidad en los modelos proyectivos nos permite obtener un conjunto de propiedades y teoremas duales a partir de otros previamente deducidos. La obtención de elementos homólogos en el caso de series proyectivas se realizaba obteniendo pespectividades intermedias mediante haces perspectivos que nos permitian obtener lo que hemos denominado “eje proyectivo”. Veremos que en el caso de haces proyectivos, el razonamiento dual nos lleva a determinar centros proyectivos.
La operatividad en las relaciones perspectivas se reduce a los conceptos de pertenencia, por lo que vamos a utilizar estas técnicas para adaptarlas a los modelos proyectivos simplificando la obtención de elementos homólogos.
¿Cómo podemos definir dos series proyectivas? ¿Cúantos elementos homólogos son necesarios para determinar una proyectividad?¿Cómo podemos obtener elementos homólogos?
La relación denominada “cuaterna” o “razón doble entre cuatro elementos” permite definir transformaciones homográficas como la proyectividad general y la perspectividad.
Los fundamentos proyectivos se basan en las definiciones de “ternas ordenadas de elementos“ y “cuaternas que permiten definir la razón doble”, y las relaciones denominada “perspectivas” entre elementos de igual o distinta naturaleza.
Estas relaciones perspectivas, que serán usadas en la determinación de proyecciones en los sistemas de representación, se definen a partir de dos operadores proyectivos:
Proyección
Sección
Entre las curvas más importantes que se estudian en geometría se encuentran las denominadas “Curvas cónicas”. Otra denominación común para estas curvas es la de “Secciones cónicas” debido a que la primera definición que se dio de ellas, por Apolonio de Perge, fue a partir de las secciones en un cono de revolución.
Uno de los juegos más geométricos que existe es el “juego del billar”, en el que mediante una percusión con un taco (un palo de billar) sobre una bola, debemos conseguir que esta impacte sobre otra u otras dispuestas en una mesa de forma rectangular. Con el “taco de billar” se pueden dar efectos a las bolas, pero si las golpeamos simplemente en el centro, su comportamiento se puede asimilar a las transformaciones clásicas que se estudian en las simetrías axiales.
Un interesante desarrollo en un pasohacia la comunicación total a través de las redes son los proyectos que se están desarrollando en el MIT Media Lab para interactuar entre el mundo físico y el mundo lógico o virtual. Bits compartiendo un mismo espacio con los átomos físicos.
En particular me ha llamado la atención la presentación de una superficie en forma de pantalla tridimensional variable que permite interactuar físicamente a distancia.
Las aplicaciones de una herramienta normalmente sobrepasan los límites para las que fueron concebidas inicialmente.
Blender ha sido diseñada para realizar animaciones por ordenador cómo las que realizan grandes productoras: Pixar, Disney …
Sin embargo, su uso en manos motivadas nos están mostrando líneas de aplicación que pueden ser tratadas de forma individualizada. Una de ellas se presenta a continuación: Uso como herramienta para crear presentaciones en un ámbito educativo.
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