Una cónica (puntual) es el lugar geométrico de los puntos de intersección de dos haces proyectivos.
Este modelo se ha podido comprobar con un modelo variacional del eje proyectivo realizado con Geogebra.
Al estudiar la verdadera magnitud de una recta vimos que podíamos calcular a su vez el ángulo de esta recta respecto de un plano de proyección, es decir, su pendiente.
En un plano podemos determinar infinitas rectas con diferente dirección contenidas en el mismo. Una de estas rectas formará la máxima condición angular respecto del plano de proyección.
Uno de los primeros problemas que planteo en mis clases es el que denomino “El tapón con tres formas”.
Sirve de introducción a la geometría descriptiva y obliga a hacer un análisis espacial de gran interés para la formación de los alumnos.
El problema consiste en determinar un tapón que sirva para tapar tres agujeros que hemos realizado en una caja de madera.
Dentro de la categoría denominada “rectas notables” del plano se encuentran las que son paralelas a los planos de proyección diédricos. Estas rectas son de gran utilidad en la operatividad que vamos a desarrollar en este sistema de representación.
Uno de los teoremas más importantes de la geometría descriptiva es el denominado “Teorema de las tres perpendiculares”, que establece una relación entre dos rectas perpendiculares cuando una de ellas es paralela a un plano de proyección.
¿Sabrías obtener a partir una proyección de un punto perteneciente a un plano otra proyección sobre el plano diédrico que la completa? Por ejemplo, si nos dan la proyección horizontal y la vertical de un plano y un punto en esta última ¿Cómo determinaríamos la proyección sobre el plano horizontal?
Un plano queda determinado por tres puntos no alineados, por lo que añadiendo un nuevo punto a las proyecciones de una recta podremos definirlo. En este caso podremos dar al menos dos cotas relativas sobre cada plano de proyección con objeto de independizar las proyecciones de dichos planos soporte de la representación. Aprenderemos a representar planos y elementos que los pertenezcan.
Hemos visto la definición de diámetros polares conjugados, dada al analizar el concepto de direcciones conjugadas:
Diámetros polares conjugados: Son las polares de dos puntos impropios conjugados.
Vamos a ver cómo podemos relacionar este concepto con el de triángulo autopolar visto en las involuciones en series de segundo orden.
Los conceptos de polaridad que hemos visto al determinar la polar de un punto respecto de una recta, que nos han permitido obtener el triángulo autopolar de una cónica al establecer tres involuciuones diferentes con cuatro puntos, nos permiten avanzar en la definición proyectiva de sus elementos notables, diámetros, centro y ejes.
Una de las primeras nociones es la de “Direcciones conjugadas”
Hemos visto cómo determinar los puntos de intersección de una recta con una cónica definida por cinco puntos. Veremos a continuación el problema dual.
Este problema consiste en determinar los dos posibles rectas tangentes desde un punto a una cónica definida por cinco tangentes.
Hemos visto cómo determinar el eje de una involución y, a partir del concepto de polar de un punto respecto de dos rectas, las posibles involuciones que se pueden definir a partir de cuatro puntos, con sus respectivos ejes de involución, obteniendo el triángulo autopolar asociado en el que encontramos las relaciones armónicas del cuadrivértice completo.
En este artículo seguiremos profundizando en estos elementos, en particular en los vértices del triángulo autopolar que determinarán lo que conocemos como “Centro de Involución”.
